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Aide
Surjection
Nous présentons ici la définition d’une surjection entre deux ensembles sous forme de :
- définition mathématique
- cardinalité d’une relation surjective
- diagramme sagittal
- modèle Entité-Association
- modélisation UML
puis nous illustrons cette notion mathématique sur un exemple simple d’un ensemble d’employés et de sociétés.
Une relation binaire applicative \(R\) est une surjection si et seulement si :
- \(\forall y \in F, \exists x \in E, x=f(y)\)
Autrement dit, une application surjective \(f\) d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\) notée :
\[f : E \rightarrow F\]\[ x \mapsto f(x)\]est une relation binaire de \(E\) vers \(F\) pour laquelle :
- chaque élément de \(F\) possède au moins un antécédent dans l’ensemble \(E\)
- \((1-1)\) : chaque élément de \(E\) est en relation avec un et un seul élément de \(F\).
- \((1-n)\) : chaque élément de \(F\) est en relation avec au moins élément de \(E\).
Le diagramme sagittal ci-dessous représente un exemple d’application surjective.
Les cardinalités de l’application surjective sont representées sous les ensembles \(E,F\).
La répresentation d’une application dans un modèle Entité-Assocation se représente avec le formalisme ci-dessous :
La répresentation d’une application dans un modèle UML se représente avec le formalisme ci-dessous :
On veut modéliser un système d’information qui permettrait de gérer des employés dans des sociétés.
Dans cette application on veut exprimer les contraintes suivantes sur les employés et les sociétés :
- chaque employé travaille dans une seule société.
- une société a au moins un employé
- \((1-1)\) : chaque
Employétravaille dans une seuleSociété. - \((1-n)\) : les
Sociétéont au moins un \(Employé\).
Les contraintes de la relation Employé-Société sont celles d’une application surjective que l’on peut illustrer avec l’exemple de
diagramme sagittal ci-dessous :
La répresentation de l’application surjective Employé-Société dans le formalisme Entité-Assocation :
La répresentation de l’application surjective Employé-Société dans le formalisme UML :
