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Présentation

La formalisation d’une requête en modèle relationnel peut s’exprimer par

calcul de relations sur des ensembles : calcul relationnel

La représentation d’une requête sur une base de données relationnelle s’effectue par

une combinaison d’opérateurs appliqués sur des ensembles : algèbre relationnelle.

Calcul relationnel

Le calcul relationnel permettra de formaliser mathématiquement une requête sans décrire l’ordre d’exécution.

Ce calcul permettra d’exprimer l’ensemble des éléments recherchés par une formule de logique du premier ordre (calcul des prédicats du premier ordre, calcul des relations).

Par exemple :

\(\displaystyle R=\{ e \; | \; e \in E \land p(e)\}\)

décrit en calcul relationnel, l’ensemble \(R\) :

constitué des éléments \(e\) tel qu’ils (\(|\))
appartiennent (\(\in\)) à l’ensemble \(E\)
ET (logique : \(\land\))
vérifient la proposition logique \(p(e)\)

Une représentation de ce calcul relationnel proche d’une formulation SQL serait :

SELECT * FROM E e WHERE p(e);

Il resterait à exprimer en SQL la proposition logique \(p(e)\) sur les éléments e de la table E comme dans l’exemple suivant.

Rechercher les bières blondes

\(\displaystyle R=\{ b \; | \; b \in Bieres \land blonde(b)\}\)

où :

\(b \in Bieres\) : l’élément \(b\) est dans l’ensemble des \(Bieres\)
\(blonde(b)\) : proposition logique pour vérifier que la bière \(b\) est \(blonde\).

Autre représentation :

\(\displaystyle R=\{ b \; | \; Bieres(b) \land b.couleur="Blonde" \}\)

où :

\(Bieres(b)\) : l’élément \(b\) est dans l’ensemble (la relation, la table) des \(Bieres\)
\(b.couleur="Blonde"\) : la valeur de l’élément \(b\) sur l’attribut couleur est \('Blonde'\)

C’est une représentation en calcul relationnel plus proche d’une formulation SQL :

sql : essai.sql

DROP TABLE IF EXISTS bars;
DROP TABLE IF EXISTS bieres;
DROP TABLE IF EXISTS services;

CREATE TABLE bars ( id_bar INTEGER NOT NULL PRIMARY KEY,
                    bar    VARCHAR(20),
                    pays   VARCHAR(20) );

CREATE TABLE bieres ( id_biere  INTEGER NOT NULL PRIMARY KEY,
                      biere     VARCHAR(20),
                      couleur   VARCHAR(10),
                      origine   VARCHAR(20) );

CREATE TABLE services  ( id_bar   INTEGER NOT NULL,
                         id_biere INTEGER NOT NULL,
                         stock    SMALLINT,
                         PRIMARY KEY (id_bar, id_biere),
                         FOREIGN KEY (id_bar)   REFERENCES bars,
                         FOREIGN KEY (id_biere) REFERENCES bieres);

INSERT INTO bars VALUES (1, 'Bar du Coin', 'France');
INSERT INTO bars VALUES (2, 'Corners Pub',  'USA');
INSERT INTO bars VALUES (3, 'Cafe der Ecke','Allemagne');
INSERT INTO bars VALUES (4, 'Cafe des Amis', 'France');

INSERT INTO bieres  VALUES (1, 'Kronenbourg', 'Blonde', 'France');
INSERT INTO bieres  VALUES (2, 'Guinness', 'Brune', 'Irlande');
INSERT INTO bieres  VALUES (3, 'Heineken', 'Blonde', 'Hollande');
INSERT INTO bieres  VALUES (4, 'Newcastle', 'Rousse', 'UK');
INSERT INTO bieres  VALUES (5, 'Spaten', 'Blonde', 'Allemagne');
INSERT INTO bieres  VALUES (6, 'Bush', 'Blonde', 'USA');
INSERT INTO bieres  VALUES (7, 'Kanterbrau', 'Blonde', 'France');
INSERT INTO bieres  VALUES (8, 'Kronenbourg', 'Brune', 'France');

INSERT INTO services VALUES (1,1,1000);
INSERT INTO services VALUES (1,2, 250);
INSERT INTO services VALUES (1,3, 50);
INSERT INTO services VALUES (1,4, 10);
INSERT INTO services VALUES (1,5, 10);
INSERT INTO services VALUES (1,6, 10);
INSERT INTO services VALUES (1,7, 40);
INSERT INTO services VALUES (1,8, 60);
INSERT INTO services VALUES (2,1, 100);
INSERT INTO services VALUES (2,6, 1500);
INSERT INTO services VALUES (3,5, 5000);

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Algèbre relationnelle

L’algèbre relationnelle permettra,par une combinaison d’opérateurs de l’algèbre relationnelle, d’exprimer les requêtes qui pourront être mis en œuvre par le langage SQL.

Un opérateur de l’algèbre relationnelle peut être représenté en calcul relationnel.

Par exemple :

\(\sigma_{[p(e)]}(E)=\{ e \; | \; e \in E \land p(e) \}\)

où :

\(\sigma\) : symbole de l’opérateur unaire de restriction en algèbre relationnelle.
\(e\) : élément (tuple,enregistrement,ligne) d’un ensemble \(E\) (relation,table).
\(p(e)\) : expression (proposition,formule) logique.

Rechercher les bières blondes

\(R=\sigma_{[couleur='Blonde']}(Bieres)\)

où :

expression logique (\(p(e)\)) : \(couleur=Blonde'\)
cette expression est évaluée sur chaque élément (\(e\)) de l’ensemble des \(Bieres\)

sql : essai.sql

DROP TABLE IF EXISTS bars;
DROP TABLE IF EXISTS bieres;
DROP TABLE IF EXISTS services;

CREATE TABLE bars ( id_bar INTEGER NOT NULL PRIMARY KEY,
                    bar    VARCHAR(20),
                    pays   VARCHAR(20) );

CREATE TABLE bieres ( id_biere  INTEGER NOT NULL PRIMARY KEY,
                      biere     VARCHAR(20),
                      couleur   VARCHAR(10),
                      origine   VARCHAR(20) );

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