Mathématiques (06POBMAT)

• Coefficient : 2.5
• Volume Horaire: 66h estimées de travail (dont 42h EdT)
  CTD : 36h encadrées (et 6h de séances d'études dirigées)
  Travail personnel hors EdT : 24h

Liste des AATs

Description

1. algèbre : applications linéaires, réduction d’endomorphismes
2. analyse
   • Fonctions de plusieurs variables
     • lignes et surfaces de niveau
     • limites, continuité, dérivation partielle
     • formules de Taylor, différentielle
     • extrema
   • Intégrales curvilignes et de surface

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 18,B1,B2,B3] (diagonalisation) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant sait diagonaliser une matrice carrée et interpréter géométriquement les éléments caractéristiques (valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres). Il peut appliquer cela à des situations se ramenant à la résolution d’un système de suites récurrentes, au calcul de la puissance d'une matrice, à la résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constants.

  • L'étudiant sait déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice ou d'un endomorphisme.
  • L'étudiant sait donner la matrice de passage et la matrice diagonale d'un endomorphisme diagonalisable.
  • L'étudiant sait calculer la puissance n-ième d'une matrice diagonalisable.
  • L'étudiant sait déterminer le terme général d'une suite $U_{n+1}=AU_n$ avec A une matrice.
  • L'étudiant sait résoudre un système différentiel linéaire qu'on peut écrire à l'aide d'une matrice diagonalisable.

• AAv2 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de prouver la continuité ou la non-continuité d’une fonction de 2 ou 3 variables, calculer des dérivées partielles premières et secondes en particulier dans des situations de composition de fonctions et de changement de variables.

  • Précisément :
    • L'élève sait calculer sans erreur des dérivées partielles ;
    • L'élève sait interpréter la notion de différentiabilité en terme de plan tangent, et relier les propriétés du gradient aux courbes de niveaux d'une fonction ;
    • L'élève sait calculer un opérateur du second ordre dans un système de variables ( Laplacien en polaire) ;
    • L'élève sait montrer qu'une fonction est continue de plusieurs façons.

• AAv3 [heures: 18, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de mener, de façon autonome, la recherche et la classification des points critiques (et des éventuels extrema) en fonction du signe du déterminant de la Hessienne. Il sera capable de proposer des pistes dans le cas non déterminé par la classification.

  • Précisément :
    • L'élève sait calculer les coordonnées des points critiques ;
    • L'élève sait mener une étude locale en réduisant le calcul des dérivées secondes pour $s²-rt$ non nul ;
    • L'élève sait construire une stratégie de chemins pour justifier l'absence d'extremum dans le cas indéterminé ;
    • L'élève sait représenter sommairement les courbes de niveaux au voisinage d'un point-col.

• AAv4 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, en relation avec des situations de la physique comme l’étude des cordes vibrante ou l’évolution de la température d’une barre, chaque élève est capable de résoudre des équations différentielles élémentaires (1er et 2e ordre linéaires), d’appliquer ou de proposer un changement de variable pour se ramener au cas simple, de particulariser les solutions vérifiant des conditions aux limites.

  • Précisément :
    • L'élève sait résoudre des équations du premier et second ordre hyperboliques homogènes à coefficients constants par un changement de variable bien construit ;
    • L'élève sait résoudre une équation du premier ordre sans second membre à coefficients non constants, par la méthode des courbes de niveaux ;
    • L'élève sait déterminer une solution vérifiant des conditions aux limites ou initiales dans des cas simples.

Modalités d'évaluation

Une évaluation longue de contrôle continu (coefficient 1) et la moyenne de plusieurs évaluations courtes de contrôle continu (coefficient 3)

Mots clés

Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles, extrema, intégrales simples, multiples, curvilignes et de surfaces.

Pré-requis

Le contenu de Mathématiques S5O

Ressources

Tout livre d’analyse à destination des classes préparatoires premières et deuxième année.