Analyse (02_XBANA)

• Coefficient : 2
• Volume Horaire: 52h estimées de travail (dont 27h EdT)
  CTD : 27h encadrées
  Travail personnel hors EdT : 25h

Liste des AATs

Description

Apprentissage des méthodes de calcul intégral de base ainsi que de résolutions d'équations difféerentielles élémentaires.

• Calcul intégral :

  • Changement de variable.
  • Recherche de primitives dans des cas particuliers : Fractions rationnelles, polynômes trigonométriques, fractions rationnelles trigonométriques.

• Equations différentielles classiques :

  • Linéaires du 1er ordre et du 2nd ordre à coefficients constants.
  • Exemples de non linéaires : à variables séparables, de Bernoulli.

• Probabilité continue

  • Densité d’une variable aléatoire continue, fonction de répartition, espérance, variance.
  • Loi uniforme continue, loi exponentielle , Loi normale centrée réduite (loi gaussienne).
  • Loi d’une somme de variables continues (exponentielle, uniforme, gaussienne).
  • Théorème central limite, approximation de la loi binomiale par la loi de normale.

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 18, B2, B3] (intégral) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait mettre en œuvre des techniques de calcul intégral dans différentes situations (calcul d'aires, de volumes, de longueurs d'arc de courbe) et différents domaines ou disciplines en relations avec l'ingénierie (en mécanique, électronique, physique, probabilités). Précisément :

  • L'élève sait que faire un calcul d'intégrale revient à déterminer l'aire algébrique d'un domaine plan ;
  • L'élève sait faire une intégration par parties ;
  • L'élève sait faire un changement de variable donné ou usuel ;
  • L'élève sait intégrer une fraction rationnelle ;
  • L'élève sait intégrer une fraction trigonométrique.

• AAv2 [heures: 18, B1, B2, B3] (équations différentielles) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait résoudre un problème physique modélisé par des équations différentielles du premier et du second ordre. Il sait notamment :

  • Résoudre une équation différentielle à variables séparables (exemple : chute libre avec frottement quadratique, équation différentielle autonome) ;
  • Résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre (exemple : circuit RC) ;
  • Résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants (exemples : circuit RLC, problème masse-ressort) ;
  • Représenter graphiquement la solution au problème physique ainsi modélisé.

• AAv3 [heures: 16, B1, B2, B3] (probabilités) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de modéliser et résoudre un problème de probabilités continu élémentaire. Précisément :

  • Étant donnée une loi continue, l'élève sait en déterminer les caractéristiques principales (espérance, variance, écart-type fonction de répartition) ;
  • L'élève sait résoudre un problème concret faisant intervenir une loi normale ;
  • L'élève sait résoudre un problème concret faisant intervenir les autres lois usuelles vues en cours ;
  • L'élève sait quantifier le comportement (à l'infini) d'une v.a en utilisant des inégalités de concentration (inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchebyshev, théorème central limite).

Modalités d'évaluation

Les AAV seront validées par:

• une épreuve de contrôle continu longue
• la moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes

Mots clés

Intégration, équations différentielles, probabilités continues.

Pré-requis

Le contenu de mathématiques S1 et du lycée spécialité mathématiques première et terminale

Ressources

• Les mathématiques en licence : cours et exercices résolus. Tome 2 / Azoulay, Avignant, Auliac
• Introduction à l'analyse : cours & exercices corrigés. Licence 1 mathématiques / Aebischer
• Mathématiques : 170 fiches-méthodes, 560 exercices corrigés, formulaire / EL Kaabouchi
• Site Bibm@th (cours, exercices, quizz) https://www.bibmath.net
• Site Exo7 http://exo7.emath.fr/