Algèbre (02_XBALG)

• Coefficient : 3
• Volume Horaire: 62h estimées de travail (dont 36h EdT)
  CTD : 36h encadrées
  Travail personnel hors EdT : 26h

Liste des AATs

Description

1. Rappels : Droites et plans dans $\mathbb{R}^3$, produit vectoriel.
2. Matrices :
   • Calcul matriciel
   • Matrice inversible
   • Changement de base
3. Déterminant
4. Espaces vectoriels :
   • Définition
   • Sous-espaces vectoriels
   • Familles génératrices, libres, liées. Bases et dimension d'un espace vectoriel
   • Matrice de passage
   • Sommes de deux sev
5. Applications linéaires
   • Noyau, image, injectivité, sujectivité
   • Matrice d'une application linéaire en dimension finie
6. Réduction des endomorphismes :
   • Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres
   • Polynôme caractéristique
   • Diagonalisation
   • Applications : calcul de puissance n-ième d'une matrice diagonalisable, résolution d'un système différentiel linéaire qu'on peut écrire à l'aide d'une matrice diagonalisable

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 21,B2,B3] (espaces vectoriels) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant.e sait mettre en œuvre les notions relatives aux espaces vectoriels (sous-espaces vectoriels, famille libre, génératrice, base) et est capable de repérer un espace vectoriel. Précisément, l'étudiant.e sait :

  • utiliser la matrice de passage pour faire un changement de base
  • démonter qu'un ensemble est un s.e.v
  • démonter qu'une famille est libre ou liée et déterminer son rang
  • déterminer une base d'un e.v
  • passer d'un système d'équations linéaires de $\mathbb{R}^n$ à une base et inversement
  • déterminer l'intersection et la somme de deux s.e.v

• AAv2 [heures: 15,B2,B3] (applications linéaires) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant.e sait reconnaître ou montrer qu'une application est linéaire, déterminer son noyau et son image. En dimension finie l'étudiant.e est capable d’expliciter la matrice d'une application linéaire dans une base. Précisément, l'étudiant.e sait :

  • démontrer qu'une application est linéaire ou n'est pas linéaire.
  • déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire.
  • écrire la matrice d'une application linéaire dans une base en utilisant si besoin est la matrice de passage.

• AAv3 [heures: 14,B1,B2,B3] (matrices) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant.e maîtrise le calcul matriciel (somme, produit, inverse, déterminant) et est capable de reconnaître un problème d’algèbre linéaire dans une situation concrète. Précisément, l'étudiant.e sait :

  • modéliser une situation linéaire par un produit matriciel.
  • calculer une somme et un produit de matrices.
  • exploiter les propriétés de l'inverse d'une matrice et calculer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.
  • reconnaitre qu'une famille est libre ou liée en utilisant les propritétes du déterminant et sait calculer un déterminant.

• AAv4 [heures: 12,B1,B2,B3] (diagonalisation) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant.e sait diagonaliser une matrice carrée et interpréter géométriquement les éléments caractéristiques (valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres). Elle ou il peut appliquer cela à des situations se ramenant à la résolution d’un problème de suites récurrentes, au calcul de la puissance d'une matrice, à la résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constants. Précisément, l'étudiant.e sait :

  • déterminer les valeurs propres, vecteurs propres, et sous espaces propres pour un endomorphisme ou matrice donné.
  • donner la matrice de passage et la matrice diagonale d'un endomorphisme diagonalisable.
  • calculer la puissance n-ième d'une matrice diagonalisable.
  • déterminer le terme général d'une suite définie par $U_{n+1}=AU_n$ avec A une matrice.
  • résoudre un système différentiel linéaire qu'on peut écrire à l'aide d'une matrice diagonalisable.

Modalités d'évaluation

Les AAV seront validés par:

• une épreuve de contrôle continu longue
• la moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes

Mots clés

Espaces vectoriels, matrices, déterminants, diagonalisation.

Pré-requis

Les notions vues en spécialité mathématiques au lycée

Ressources

• Les mathématiques en licence : cours et exercices résolus. Tome 2 / Azoulay, Avignant, Auliac
• Algèbre linéaire : rappels de cours, questions de réflexion, exercices d'entraînement / Denmat, Héaulme
• Le succès en algèbre en fiches-méthodes / EL Kaabouchi
• Site Bibm@th (cours, exercices, quizz) https://www.bibmath.net
• Site Exo7 http://exo7.emath.fr/