Algèbre (02_XBALG)
- Coefficient : 3
- Volume Horaire: 62h estimées de travail (dont 36h EdT)
- CTD : 36h encadrées
- Travail personnel hors EdT : 26h
Liste des AATs
Description
- Espaces vectoriels : notions de base
- Définition
- Sous-espaces vectoriels
- Sommes directes
- Familles libres, génératrices, bases
- Matrices :
- Calcul matriciel
- Changement de base
- Déterminant
- Réduction des endomorphismes :
- Sous-espaces propres
- Polynôme caractéristique
- Diagonalisation
- Applications : calcul de puissance n-ième d'une matrice diagonalisable, résolution d'un système différentiel linéaire qu'on peut écrire à l'aide d'une matrice diagonalisable.
Acquis d'Apprentissage visés (AAv)
AAv1 [heures: 18,B2,B3] (espaces vectoriels) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant sait mettre en œuvre les notions relatives aux espaces vectoriels (sous-espaces vectoriels, famille libre, génératrice, base) et est capable de repérer un espace vectoriel.
- L'étudiant sait utiliser la matrice de passage pour faire un changement de base
- L'étudiant sait démonter qu'un ensemble est un s.e.v
- L'étudiant sait démonter qu'une famille est libre ou liée et déterminer son rang
- L'étudiant sait déterminer une base d'un e.v
- L'étudiant sait passer d'un système d'équations à une base et inversement
- L'étudiant sait déterminer l'intersection et la somme de deux s.e.v
AAv2 [heures: 15,B2,B3] (applications linéaires) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant sait reconnaître ou montrer qu'une application est linéaire, déterminer son noyau et son image. En dimension finie l'étudiant est capable d’expliciter la matrice d'une application linéaire dans une base.
- L'étudiant sait démontrer qu'une application est linéaire ou pas linéaire.
- L'étudiant sait utiliser le noyau et l'image dans la résolution d'équations linéaires.
- L'étudiant sait écrire la matrice d'une application linéaire dans une base.
- L'étudiant sait déterminer la matrice dans la nouvelle base en utilisant la matrice de passage.
AAv3 [heures: 14,B1,B2,B3] (matrices) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant maîtrise le calcul matriciel (somme, produit, inverse, déterminant) et est capable de reconnaître un problème d’algèbre linéaire dans une situation concrète.
- L'étudiant sait modéliser une situation linéaire par un produit matriciel.
- L'étudiant sait calculer une somme et un produit de matrices.
- L'étudiant sait exploiter les propriétés de l'inverse d'une matrice et sait calculer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 2 ou 3.
- L'étudiant sait reconnaitre qu'une famille est libre ou liée en utilisant les propritétes du déterminant et sait calculer un déterminant.
AAv4 [heures: 15,B1,B2,B3] (diagonalisation) : À l’issue de cet enseignement, l’étudiant sait diagonaliser une matrice carrée et interpréter géométriquement les éléments caractéristiques (valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres). Il peut appliquer cela à des situations se ramenant à la résolution d’un système de suites récurrentes, au calcul de la puissance d'une matrice, à la résolution d’un système différentiel linéaire à coefficients constants.
- L'étudiant sait déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice ou d'un endomorphisme.
- L'étudiant sait donner la matrice de passage et la matrice diagonale d'un endomorphisme diagonalisable.
- L'étudiant sait calculer la puissance n-ième d'une matrice diagonalisable.
- L'étudiant sait déterminer le terme général d'une suite $U_{n+1}=AU_n$ avec A une matrice.
- L'étudiant sait résoudre un système différentiel linéaire qu'on peut écrire à l'aide d'une matrice diagonalisable.
Modalités d'évaluation
Les AAV seront validés par:
- une épreuve de contrôle continu longue
- la moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes
Mots clés
Espaces vectoriels, matrices, déterminants, diagonalisation.
Pré-requis
Les notions vues en spécialité mathématiques au lycée
Ressources
- Les mathématiques en licence : cours et exercices résolus. Tome 2 / Azoulay, Avignant, Auliac
- Algèbre linéaire : rappels de cours, questions de réflexion, exercices d'entraînement / Denmat, Héaulme
- Le succès en algèbre en fiches-méthodes / EL Kaabouchi
- Site Bibm@th (cours, exercices, quizz) https://www.bibmath.net
- Site Exo7 http://exo7.emath.fr/