Transformée de Fourier

Passage Série de Fourier –> Transformée de Fourier

Augmentons la période T de notre signal périodique :

$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\color{red}{c_n} e^{jn\omega t}$
$y(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\color{red}{[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}y(\theta)e^{-j\frac{2\pi n \theta}{T}} d\theta]}e^{j\frac{2\pi n t}{T}}$
$T \rightarrow +\infty => \frac{n}{T} \rightarrow 0 =>$ la somme discrète devient une somme continue

$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\color{red}{[\int_{-\infty}^{+\infty}y(\theta)e^{-j2\pi f \theta } d\theta]}e^{j2\pi ft} df$
$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}\color{red}{Y(f)}e^{j2\pi ft}df$

Nous avions un spectre de raies pour un signal périodique ; ce spectre est continu pour un signal non périodique.

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Définition de la transformée de Fourier

$y(t) \overset{ \mathcal{F} }{\rightarrow}Y(f)$

$\boxed{ Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-j2\pi f t } dt }$

Y(f) constitue le spectre du signal Y.
C’est un nombre complexe .
Sur le schéma ci-dessus, seule l’amplitude est représentée ( il est possible si besoin de représenter également la phase ).

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Exemple de transformées de fourier

$\delta(t)\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}1$ : Le dirac excite toutes les fréquences

$rect(t)\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}sinc(f))$

$\delta(t-t_0)\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}1$

$III_{T_e}\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}\frac{1}{T_e}III_{f_e}$

$1\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}\delta(f)$

$e^{j2\pi f_0 t}\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}\delta(f-f_0)$

$\sin(2\pi f_0 t)\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}\frac{1}{2j}[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]$
$\cos(2\pi f_0 t)\overset{\mathcal{F}}{\rightarrow}\frac{1}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]$

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Transformée de fourier d’une constante

Si je cherche directement la transformée de fourier d’une constante, je constate que le résultat est infini ( diverge ).

Approximation de la fonction constante :

$g(t)=A.e^{\epsilon |t|}$
$\epsilon\rightarrow 0 \Rightarrow g(t)\rightarrow A$
$\mathcal{F}[g(t)]=G(\omega)=\int_{-\infty}^{0}Ae^{\epsilon t}e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{+\infty}Ae^{-\epsilon t}e^{-j\omega t}dt$
$G(\omega)=\frac{2\epsilon A}{\epsilon^2+\omega^2}$
$\epsilon \rightarrow 0 \Rightarrow G(\omega)=\delta(\omega)$
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\epsilon A}{\epsilon^2+\omega^2}d\omega = 2\pi A$
$\mathcal{F}[A]=2\pi A \delta(\omega)$

On y arrive mais non sans mal …

Transformée de fourier de step

$\mathcal{F}[step(t)]=\frac{1}{j\omega}+\pi \delta(\omega)$
$$
$$

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Tranformée de fourier et convolution

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$

$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\right]e^{-j2\pi f t} dt$
$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2\pi f t} dt\right]d\tau$
$e^{j2\pi f \tau} e^{-j2\pi f \tau} = 1$
$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f \tau} \left[\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)e^{-j2\pi f t} e^{ j2\pi f \tau} dt\right] d\tau$
$Y(f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{ -j2\pi f \tau} \left[\int_{-\infty}^{\infty}h(u)e^{-j2\pi f u} du\right] d\tau$
$Y(f)= \left[\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{ -j2\pi f \tau} d\tau \right]\left[\int_{-\infty}^{\infty}h(u)e^{-j2\pi f u} du\right]$

$\boxed{ Y(f)=H(f).X(f) }$

Produit de convolution en temporel–> Multiplication en TF

$\left\{\begin{matrix} \mathcal{F}[step(t)]=\frac{1}{j\omega}+\pi \delta(\omega) \\ \mathcal{F}[h(t)]=\frac{1}{1+j\omega \tau} \end{matrix}\right.$

$\mathcal{F}[y(t)]=\mathcal{F}[h(t)\otimes step(t)]$
$Y(\omega)=\frac{1}{1+j\omega \tau}.(\frac{1}{j\omega}+\pi \delta(\omega))$
$Y(\omega)=\frac{1}{j\omega(1+j\omega \tau)}+\frac{\pi \delta(\omega)}{1+j\omega \tau}$
$Y(\omega)=\frac{1+j\omega \tau - j\omega \tau}{j\omega(1+j\omega \tau)}+\pi \delta(\omega)$
$Y(\omega)=-\frac{\tau}{1+j\omega\tau}+(\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega))$
$y(t)= \mathcal{F}^{-1}[Y(\omega)]=step(t)-step(t)e^{-\frac{t}{\tau}}$

$\boxed{ y(t)= 1-e^{-\frac{t}{\tau}} \ pour \ t>0 }$

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Lien Fonction de Transfert <–> Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle

$y(t)=h(t) \otimes x(t)$

Pour x(t) fonction sinusoidale :

$y(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau).Ae^{j2\pi f(t-\tau)}d\tau$
$y(t)=Ae^{j2\pi ft}\color{red}{\int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau).Ae^{j2\pi f(-\tau)}d\tau}$
$y(t)=Ae^{j2\pi ft}\color{red}{H(f)}$

Ainsi : La Transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle d’un système correspond à sa fonction de Transfert

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Transformée de Fourier d’un signal périodique –> Série de Fourier

Toute fonction périodique y(t) de période T peut s’écrire comme une somme infinie de cos et sin

$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega t}$
$Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}\color{red}{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{jn\omega t}}e^{-j2\pi f t } dt$
$Y(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \int_{-\infty}^{+\infty} e^{jn\omega t}e^{-j2\pi f t } dt$
$Y(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n \delta(f-nF)$ –> Spectre de Raies (non continu) # série de fourier

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