Analyse (04_XBANA)

• Coefficient : 2
• Volume Horaire: 45.0h estimées de travail (dont 27.0h EdT)
  CTD : 27h encadrées
  Travail personnel hors EdT : 18h

Liste des AATs

Description

1. Intégrales multiples : intégrales doubles et triples
   • Formules de Fubini
   • Changements de variables (coordonnées polaires pour les intégrales doubles, cylindriques et sphériques pour les intégrales triples)
   • Applications : calculs de volumes, détermination d'un centre d'inertie, d'un moment d'inertie, de l'aire d'une surface.
2. Intégrales généralisées : notion de convergence, techniques de calcul (intégration par parties, changement de variable)
3. Intégrales curvilignes
   • Calcul de longueurs d'arcs de courbes
   • Circulation d'un champ de vecteurs
   • Formule de Green-Riemann, application aux calculs d'aires

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 25, B1,B2,B3] (intégrales multiples) : À l’issue de cet enseignement, chaque étudiant.e sait calculer des intégrales doubles et triples, et utiliser ces notions pour déterminer des volumes, des aires de surfaces, les coordonnées d’un centre d'inertie ou la matrice d'inertie d'un solide. Précisément, l'étudiant.e :

  • sait utiliser des symétries du domaine pour simplifier un calcul d'intégrale double ou triple ;
  • sait appliquer les formules de Fubini pour déterminer la valeur d'une intégrale double ou triple ;
  • reconnaît des situations où un changement en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques est judicieux à effectuer. Il sait faire ce changement de variable pour déterminer la valeur de l’intégrale en question ;
  • sait effectuer un changement de variables proposé par l’énoncé (détermination du jacobien et du nouveau domaine d'intégration) ;
  • reconnaît des situations menant aux calculs d'intégrales doubles ou triples (volumes, aire d'une surface, centre d'inertie...).

• AAv2 [heures: 10, B2,B3] (intégrales généralisées) : À l’issue de cet enseignement, chaque étudiant.e sait déterminer la nature (convergente ou divergente) d'une intégrale généralisée et calculer la valeur d’une intégrale convergente dans différents domaines (probabilités, électromagnétisme, théorie du signal...). Précisément, l'étudiant.e :

  • sait déterminer la nature d’une intégrale généralisée par des procédés de recherche d’équivalent de l’intégrande ;
  • sait déterminer la nature de l’intégrale par des procédés de majoration ou minoration de l’intégrande.

• AAv3 [heures: 10, B1,B2,B3] (champs_vecteurs) : À l’issue de cet enseignement, chaque étudiant.e sait déterminer la circulation d'un champ de vecteurs (resp. l'intégrale curviligne d’une forme différentielle) et appliquer cette notion dans différentes situations (champ électrique, magnétique, vitesse d’un fluide en un point…). Précisément, l'étudiant.e :

  • sait ce qu’est un champ de vecteurs et peut en donner des exemples ;
  • est capable de déterminer la circulation d’un champ de vecteurs donné ;
  • est capable de déterminer si un champ est conservatif (resp. si une forme différentielle est exacte), et de calculer ses potentiels (resp. ses primitives) ;
  • est capable d'utiliser à bon escient la formule de Grenn-Riemann.

Modalités d'évaluation

Les AAV seront validées par:

• une épreuve de contrôle continu longue
• la moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes

Mots clés

Intégrales généralisées, multiples, curvilignes.

Pré-requis

Programme mathématiques du lycée et des semestres antérieurs.

Ressources

Polycopié du cours.