Mathématiques (01_XBMAT)
- Coefficient : 7
- Volume Horaire: 153h estimées de travail (dont 94.5h EdT)
- CTD : 81h encadrées (et 13.5h de séances d'études dirigées)
- Travail personnel hors EdT : 58.5h
Liste des AATs
Description
Maîtriser les outils mathématiques de base nécessaires à la formation de l'ingénieur ENIB.
- Ensembles et applications :
- Opérations sur les ensembles (intersection, union, ensembles produits).
- Images directe et réciproque d'un ensemble par une application.
- Notion d'application bijective (théorèmes de la bijection et des valeurs intermédiaires)
- Trigonométrie
- Fonctions usuelles et transformations graphiques élémentaires de courbes :
- Les fonctions élémentaires (logarithmes, exponentielles, puissances, trigonométriques).
- Fonctions hyperboliques.
- Fonctions circulaires trigonométriques réciproques (arctan, arcsin et arccos).
- Passage d'une courbe à une autre par transformations simples.
- Calculs élémentaires dans le corps des complexes :
- Écritures d'un nombre complexe sous forme algébrique, exponentielle.
- Module et argument.
- Linéarisation.
- Racines nièmes d'un nombre complexe.
- Équation du second degré à coefficients complexes.
- Étude globale d'une fonction numérique :
- Limite d'une fonction (théorèmes fondamentaux et limites classiques).
- Continuité et prolongement par continuité.
- Dérivation (définition, principales formules, interprétation géométrique)
- Concavité, convexité, point d'inflexion et recherche d'extrema.
- Polynômes et fractions rationnelles :
- Division euclidienne, notions de racines (ou zéros) d'un polynôme, polynôme irréductible
- Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples sur R et sur C
- Etude locale de fonctions :
- Formule de Taylor-Young, développements limités usuels en 0.
- Applications analytiques et graphiques.
- Courbes paramétrées
- Probabiltés discrètes
- Probabilité conditionnelle, probabilité totale, formule de Bayes.
- Variable aléatoire réelle discrète, espérance, variance, indépendance de deux variables aléatoires discrètes
- Lois usuelles (Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson)
- couples de variables aléatoires discrètes et indépendance
Acquis d'Apprentissage visés (AAv)
AAv1 [heures: 25, B1, B2, B3] (trigonométrie) : À l’issue de cet enseignement, l'étudiant.e sait mobiliser des outils trigonométriques pertinents pour modéliser une situation du domaine de l'ingénierie (exemple : hauteur d'un édifice, navigation, astronomie, étude des marées, ondes, sons...), puis résoudre ce problème. Précisément, l'étudiant.e sait :
- mettre en équation une situation faisant appel à de la trigonométrie ;
- utiliser le cercle trigonométrique et/ou des formules du cours pour résoudre des équations ou inéquations trigonométriques ;
- faire l'étude d'une fonction trigonométrique donnée ;
AAv2 [heures: 30, B2, B3] (complexes) : À l'issue de cet enseignement, l'étudiant.e sait écrire un nombre complexe sous formes algébrique et exponentielle et résoudre certaines équations de la variable complexe. Précisément, l'étudiant.e sait :
- écrire un nombre complexe sous forme algébrique, exponentielle, et placer dans le plan le point d'affixe correspondant ;
- déterminer sous forme algébrique les racines carrées d'un nombre complexe ;
- résoudre une équation du second degré à coefficients réels et complexes ;
- déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe.
AAv3 [heures: 35, B1, B2, B3] (fonctions) : À l’issue de cet enseignement, l'étudiant.e sait mettre en œuvre des techniques fondamentales de l'analyse concernant l'étude des fonctions numériques de la variable réelle (limites, dérivation) pour résoudre notamment des problèmes d'optimisation à une variable réelle. Elle ou il sait appliquer ces techniques pour résoudre des problèmes concrets simples. Précisément, l'étudiant.e sait :
- déterminer l'image directe et l'image réciproque d'un ensemble par une application, ainsi que la réciproque d'une application bijective ;
- faire une étude d'une fonction numérique (ensemble de définition, étude du signe de la dérivée, asymptotes horizontales, verticales, obliques, tangente en un point de la courbe, allure de la courbe...) ;
- obtenir la représentation graphique d'une fonction par des transformations graphiques élémentaires (cas de la représentation graphique de g à partir de celle de f pour g(x)=af(bx + c)+d ;
- résoudre des problèmes d'optimisation faisant appel à l'étude d'une fonction de la variable réelle.
AAv4 [heures: 15, B3] (DLs) : À l’issue de cet enseignement, l'étudiant.e sait utiliser les développements limités (DL) pour approximer et représenter localement une fonction. Précisément, l'étudiant.e sait :
- interpréter géométriquement un DL donné, notamment en déduire la position d’une courbe par rapport à une tangente ou une asymptote ;
- mettre en oeuvre les opérations élémentaires sur les DLs pour déterminer une approximation locale d'une courbe ;
- mobiliser ses connaissances sur les développements limités pour déterminer la limite d'une forme indéterminée.
AAv5 [heures: 12, B1, B2, B3] (courbes paramétrées) : À l’issue de cet enseignement, l'étudiant.e sait étudier une courbe paramétrée et la tracer. Précisément, l'étudiant.e sait :
- passer d'un système paramétrique à une équation cartésienne (et inversement) lorsque cela est possible;
- obtenir le tableau des variations d'une courbe paramétrée, et tracer la courbe correspondante.
AAv6 [heures: 19, B2, B3] (polynômes et fractions rationnelles) : À l’issue de cet enseignement, l'étudiant.e sait factoriser certains polynômes et décomposer une fraction rationnelle en éléments simples dans R(X) ou C(X). Précisément, l'étudiant.e sait :
- déterminer la multiplicité d'une racine d'un polynôme à coefficients réels ou complexes ;
- dire si un polynôme à coefficients réels ou complexes est factorisable ou pas dans R[X] ou C[X], et en particulier factoriser un polynôme simple (second degré, troisième degré avec racine évidente, identité remarquable) ;
- décomposer en éléments simples dans R(X) et C(X) une fraction rationnelle.
AAv7 [heures: 17, B1, B2, B3] (probabilités) : À l’issue de cet enseignement, l'étudiant.e est capable de modéliser et de résoudre un problème élémentaire faisant appel aux probabilités discrètes. Précisément, l'étudiant.e sait :
- résoudre un problème simple de dénombrement ;
- résoudre un problème de probabilité conditionnelle sur les ensembles ;
- déterminer, pour une loi donnée, les caractéristiques principales (espérance, variance, fonction de répartition) ;
- résoudre un problème concret à l’aide des lois usuelles parmi celles étudiées en cours (uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson) ;
- déterminer les lois conjointes et lois marginales d'un couple de variables aléatoires discrètes.
Modalités d'évaluation
Les AAV seront validés par:
- une épreuve de contrôle continu longue
- la moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes
Mots clés
Nombres complexes, trigonométrie, fonctions usuelles (logarithmiques, exponentielles, puissances, trigonométriques, réciproques), courbes paramétrées, fractions rationnelles, développements limités, probabilités discrètes.
Pré-requis
Les notions de la spécialité mathématiques de première et terminale
Ressources
- polycopié de cours
- Les mathématiques en licence : cours et exercices résolus. Tome 1 / Azoulay, Avignant, Auliac
- Introduction à l'analyse : cours & exercices corrigés. Licence 1 mathématiques / Aebischer
- Mathématiques : 170 fiches-méthodes, 560 exercices corrigés, formulaire / EL Kaabouchi
- Site Bibm@th (cours, exercices, quizz) https://www.bibmath.net
- Site Exo7 http://exo7.emath.fr/