Mathématiques (01_XBMAT)
- Coefficient : 7
- Volume Horaire: 153h estimées de travail (dont 94.5h EdT)
- CTD : 81h encadrées (et 13.5h de séances d'études dirigées)
- Travail personnel hors EdT : 58.5h
Liste des AATs
Description
Maîtriser les outils mathématiques de base nécessaires à la formation de l'ingénieur ENIB.
- Ensembles et applications :
- Opérations sur les ensembles (intersection, réunion, ensembles produits).
- Images directe et réciproque d'un ensemble par une application.
- Notion d'application bijective (théorèmes de la bijection et des valeurs intermédiaires)
- Fonctions usuelles et transformations graphiques élémentaires de courbes :
- Rappels sur les fonctions élémentaires (logarithmes, exponentielles, puissances, trigonométriques).
- Applications des formules de trigonométrie.
- Fonctions hyperboliques.
- Fonctions circulaires trigonométriques réciproques (arctan, arcsin et arccos).
- Passage d'une courbe à l'autre par transformations simples.
- Calculs élémentaires dans le corps des complexes :
- Écritures d'un nombre complexe sous forme algébrique, exponentielle.
- Module et argument .
- Linéarisation.
- Racines nièmes d'un nombre complexe.
- Équation du second degré à coefficients complexes.
- Étude globale d'une fonction numérique :
- Limite d'une fonction (théorèmes fondamentaux et limites classiques).
- Continuité et prolongement par continuité.
- Dérivation (définition, principales formules, interprétation géométrique)
- Concavité, convexité, point d'inflexion et recherche d'extrema.
- Intégration (première partie) :
- Notion de primitive
- Primitives usuelles
- Intégrations par parties
- Polynômes et fractions rationnelles :
- Division euclidienne.
- Factorisation d'un polynôme en produit de polynômes irréductibles.
- Décomposition en éléments simples sur R et sur C
- Etude locale de fonctions :
- Formule de Taylor-Young, développements limités usuels en 0.
- Applications analytiques et graphiques.
- Courbes paramétrées
- Probabiltés discrètes
- dénombrements: cardinal d’un ensemble, p-listes, permutation, arrangement, combinaison (coefficients binomiaux, formule de Pascal, formule du binôme de Newton)
- Probabilité conditionnelle, arbres pondéré, proba totale, formule de Bayes, indépendances de 2 évènements
- Variable aléatoire réelle et loi de probabilité sur un ensemble fini
- Loi de probabilité de la variable aléatoire X + Y . Espérance et variance de combinaisons linéaires de v.a
- Lois de Bernouilli, binomiale, géométrique, de poisson
Acquis d'Apprentissage visés (AAv)
AAv1 [heures: 15, B2, B3] (trigonométrie) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait mobiliser des outils trigonométriques pertinents pour la mise en équation d'une situation du domaine de l'ingénierie (exemple : hauteur d'un édifice, navigation, astronomie,...), et résoudre le problème. Précisément :
- L'élève sait utiliser le cercle trigonométrique pour retrouver des valeurs particulières des fonctions trigonométriques ainsi que résoudre des équations ou inéquations trigonométriques ;
- L'élève sait utiliser les formules trigonométriques du cours pour simplifier des expressions ;
- L’élève sait mettre en équation une situation faisant appel à de la trigonométrie.
AAv2 [heures: 10, B1, B2, B3] (trigonométrie) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait résoudre un problème physique modélisé par une fonction trigonométrique (exemples: étude de la durée du jour, marées, ondes, sons,...) en étudiant cette fonction. Précisément :
- L'élève sait faire l'étude d'une fonction trigonométrique donnée et tracer ("à main levée") sa représentation graphique sans aide d'une calculatrice ou logiciel ;
- L'élève sait résoudre un problème physique se ramenant à l'étude d'une fonction trigonométrique.
AAv3 [heures: 30, B2, B3] (complexes) : À l'issue de cet enseignement, chaque élève sait écrire un nombre complexe sous formes algébrique et exponentielle et résoudre certaines équations à solutions complexes (équations du second degré à coefficients complexes ou s'y ramenant, équation se ramenant à la recherche d'une racine n-ième). Précisément :
- L'élève sait écrire un nombre complexe sous forme algébrique ;
- L'élève sait écrire un nombre complexe sous forme exponentielle ;
- L'élève est capable de placer dans le plan le point d'affixe un nombre complexe écrit sous forme algébrique ou exponentielle ;
- L'élève sait déterminer sous forme algébrique les racines carrées d'un nombre complexe ;
- L'élève sait résoudre une équation du second degré à coefficients complexes ;
- L'élève sait déterminer les racines n-ièmes d'un nombre complexe donné sous forme exponentielle.
AAv4 [heures: 35, B1, B2, B3] (fonctions) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait mettre en œuvre des techniques fondamentales de l'analyse concernant l'étude des fonctions numériques de la variable réelle (limites, dérivation, intégration basique) pour résoudre notamment des problèmes d'optimisation à une variable réelle. Il sait appliquer ces techniques pour résoudre des problèmes concrets simples. Précisément :
- L'élève sait déterminer l'image directe et l'image réciproque d'un ensemble par une application ;
- L'élève sait déterminer la réciproque d'une application bijective ;
- L'élève sait déterminer l'ensemble de définition d'une fonction ;
- L'élève est capable de donner l'allure des représentations graphiques des fonctions de références ;
- L'élève est capable d'obtenir la représentation graphique d'une fonction par des transformations graphiques élémentaires ;
- L'élève sait déterminer des limites classiques ;
- L'élève sait dériver une expression donnée ;
- L'élève sait déterminer des asymptotes (horizontales, verticales, obliques) et des tangentes ;
- L'élève sait étudier le signe d'une expression donnée (notamment résoudre des inéquations) ;
- L'élève sait résoudre des problèmes d'optimisation faisant appel à l'étude d'une fonction de la variable réelle ;
- L’élève sait calculer quelques intégrales classiques (notamment sait faire une IPP).
AAv5 [heures: 15, B3] (DLs) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait utiliser les développements limités (DL) pour approximer et représenter localement une fonction. Précisément :
- L'élève est capable d'interpréter géométriquement un DL donné, notamment d’en déduire la position d’une courbe par rapport à une tangente ou une asymptote ;
- L'élève sait mettre en oeuvre les opérations élémentaires sur les DLs pour déterminer une approximation locale d'une courbe ;
- L'élève est capable de mobiliser ses connaissances sur les développements limités pour déterminer la limite d'une forme indéterminée.
AAv6 [heures: 12, B1, B2, B3] (courbes paramétrées) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait étudier une courbe paramétrée et la tracer. Il sait également paramétrer une courbe élémentaire (segment, cercle,...). Précisément :
- L'élève est capable de tracer une courbe paramétrée à partir du tableau des variations donné ;
- L'élève sait passer d'un système paramétrique à une équation cartésienne (et inversement) lorsque cela est possible.
- L'élève est capable d'obtenir le tableau des variations d'une courbe paramétrée ;
- L'élève est capable de paramétrer un segment, un cercle...
AAv7 [heures: 7, B3] (polynomes) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait factoriser certains polynômes (2nd degré, 3ème degré avec racine évidente), reconnaître des identités remarquables, ainsi que déterminer la multiplicité d'une racine. Précisément :
- L'élève sait factoriser un polynôme du second degré ou troisième degré avec racine évidente ;
- L'élève sait faire la division euclidienne de polynômes ;
- L'élève sait dire si un polynôme à coefficients réels ou complexes est factorisable ou pas dans $\mathbb{R} [X]$ ou $\mathbb{C}[X]$ ;
- L'élève sait déterminer la multiplicité d'une racine d'un polynôme à coefficients réels ou complexes.
AAv8 [heures: 12, B2, B3] (fractions rationnelles) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait décomposer une fraction rationnelle en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ ou $\mathbb{C}(X)$. Précisément :
- L'élève sait donner la décomposition formelle d'une fraction rationnelle où le dénominateur est factorisé ou factorisable dans $\mathbb{R}[X]$ ;
- L'élève sait déterminer les coefficients de la décompostion formelle dans $\mathbb{R}(X)$ d'une fraction rationnelle faisant intervenir des pôles multiples (ordre au plus trois) ainsi qu'un facteur de seconde espèce.
AAv9 [heures: 10, B1, B2, B3] (probabilités) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de modéliser et de résoudre un problème élémentaire faisant appel aux probabilités discrètes. Précisément :
- L’élève sait résoudre un problème simple de dénombrement ;
- Étant donnée une loi, l'élève sait en déterminer les caractéristiques principales (Espérance, variance, fonction de répartition) ;
- Étant donné un problème concret, l'élève sait le résoudre à l’aide des lois usuelles parmi celles étudiées en cours (loi uniforme, loi binomiale, loi de Poisson) ;
- L’élève sait déterminer les caractéristiques d’une somme de variables aléatoires discrètes.
AAv10 [heures: 7, B1, B2, B3] (probabilités) : À l’issue de cet enseignement, à partir d'un énoncé probabiliste discret, chaque élève est capable de discerner si le problème fait appel à du conditionnement et de mettre en œuvre les principes qui permettent de le résoudre. Précisément :
- L'élève est capable de résoudre un problème de probabilité conditionnelle sur les ensembles ;
- L'élève est capable de résoudre un problème de probabilités conditionnelles avec des variables aléatoires discrètes.
Modalités d'évaluation
Les AAV seront validés par:
- une épreuve de contrôle continu longue
- la moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes
Mots clés
Nombres complexes, trigonométrie, fonctions usuelles (logarithmiques, exponentielles, puissances, trigonométriques, réciproques), courbes paramétrées, fractions rationnelles, développements limités, probabilités discrètes.
Pré-requis
Les notions de la spécialité mathématiques de première et terminale
Ressources
- Les mathématiques en licence : cours et exercices résolus. Tome 1 / Azoulay, Avignant, Auliac
- Introduction à l'analyse : cours & exercices corrigés. Licence 1 mathématiques / Aebischer
- Mathématiques : 170 fiches-méthodes, 560 exercices corrigés, formulaire / EL Kaabouchi
- Site Bibm@th (cours, exercices, quizz) https://www.bibmath.net
- Site Exo7 http://exo7.emath.fr/