Analyse des Structures et simulation en (petites et) GRAndes Déformations

(ASGARD)

• Coefficient : 6^
• Volume Horaire: 150.0h estimées de travail (dont 84.0h EdT)
  CM : 30h encadrées
  CTD : 7.5h encadrées
  Labo : 34.5h encadrées (et 12h de séances d'études dirigées)
  Travail personnel hors EdT : 66h

Liste des AATs

Description

Ce module de recherche a pour objet de fournir aux élèves du semestre 7 des éléments théoriques et numériques avancés pour comprendre et mettre en œuvre des simulations numériques en mécanique des matériaux et des structures, lesquelles participent au processus de conception des systèmes mécaniques dans les bureaux d’étude. Ce module se concentre sur trois aspects complémentaires : (i) donner les les fondements et la mise en pratique de la méthode des éléments finis, laquelle permet de résoudre numériquement les équations de champ. En particulier, une attention particulière est apportée à la programmation informatique de la méthode, qui est le meilleur moyen d'en comprendre les différents aspects. (ii) fournir une introduction aux non linéarités géométriques afin d'envisager une modélisation plus réaliste des problèmes de l'ingénieur en mécanique, comprendre les théories de base implémentées dans les codes de calcul commerciaux non linéaires, et comprendre quand mener une analyse non linéaire devient important. (iii) comprendre l'intérêt des données pour la mécanique. En particulier, on se focalisera sur les aspects liés à l’acquisition de données expérimentales via différents moyens d'essai et de mesure, et l'utilisation de ces données pour la calibration des modèles en mécanique.

L’objectif de ce module de recherche est aussi de fournir les bases théoriques et numériques nécessaires aux élèves qui souhaitent intégrer le master 2 recherche de modélisation en mécanique, commun avec l’ENSTA, en parallèle de leur dernière année d’école.

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 15, B2] : Ecrire les formulations forte et faible d’un problème élastostatique linéaire isotherme, en 1D et 3D. Pour être suffisamment détaillé, le travail devra comprendre :

  • Complétude des équations fortes
  • Forme faible correcte

• AAv2 [heures: 20, B3] : Programmer en langage Python la méthode des éléments finis pour des problèmes élastostatiques linéaires isothermes en 1D, avec des éléments 1D à interpolation linéaire. Pour être suffisamment détaillé, le travail devra comprendre :

  • Ecriture des matrices et vecteurs élémentaires
  • Algorithme d’assemblage
  • Appliquer les conditions aux limites en déplacements ou température (Dirichlet)
  • Recalculer le champ dual discret, et tracer les champs primaux et duaux en fonction de la coordonnée x.

• AAv3 [heures: 35, B3] : Programmer en langage Python la méthode des éléments finis pour des problèmes élastostatiques linéaires isothermes en 2D, avec des éléments triangulaires linéaires. Pour être suffisamment détaillé, le travail devra comprendre :

  • Interpolation linéaire dans un triangle linéaire à trois nœuds.
  • Implémentation en 2D des quantités élémentaire, et de leur assemblage
  • Algorithme d’assemblage
  • Appliquer les conditions aux limites essentielles
  • Post-traiter les résultats de calcul et appliquer un critère de dimensionnement.

• AAv4 [heures: 20, B3] : Programmer un algorithme d’intégration explicite de type différences centrées pour les problèmes de dynamique rapide. Pour être suffisamment détaillé, le travail devra comprendre :

  • Calcul des forces internes
  • Respect de la condition CFL
  • Solution satisfaisant une solution analytique.

• AAv5 [heures: 15, B3] : Décrire la cinématique d’un mouvement en transformation finie, et décrire l’état de déformation, en particulier

  • Ecrire la transformation
  • Calculer son gradientF et différentes mesures de déformation.

• AAv6 [heures: 15, B3] : A partir d’un modèle d’hyperélasticité, savoir calculer différentes tenseurs des contraintes en transformations finies pour dimensionner un système mécanique.

• AAv7 [heures: 15, B1] : Savoir expliquer les enjeux liés aux données en mécanique. Pour être suffisamment détaillé, le travail devra comprendre :

  • Connaître différents types de données en tests mécaniques expérimentaux et décrire des moyens d’acquisition associés
  • Expliquer le concept de corrélation d’images numériques, écrire un problème de conservation du flot optique et restituer les atouts et limitations de différentes méthodes de résolution

• AAv8 [heures: 15, B3] : Coder un problème d’identification des paramètres d’un modèle de comportement (hyper)élastique non linéaire. Plus précisément,

  • Écrire un problème d’optimisation impliquant une fonction erreur
  • Implémenter sa résolution à partir d’un code éléments finis existant

Modalités d'évaluation

Moyenne d'épreuves de contrôle continu, devoir maison, TP, labos.

Mots clés

Méthode des Eléments Finis, Simulation numérique en mécanique des structures, Non-linéarité géométriques, Données pour la mécanique, Corrélation d'images, Calibration des modèles mécaniques.

Pré-requis

• Eléments de mathématiques: algèbre linéaire, résolution des équations différentielles du 1er et 2nd ordre
• Cours de méthodes numériques
• Cours de Mécanique des Milieux Continus (MMC) et du solide déformable (MSD), Résistance des Matériaux (RDM), Dimensionnement des Structures Mécaniques (DSM)
• Cours de thermique

Ressources

• Bonnet, M., & Frangi, A. (2007). Analyse des solides déformables par la méthode des éléments finis. Les éditions de l’Ecole Polytechnique.
• Hughes, T. J. (2003). The finite element method: linear static and dynamic finite element analysis. Courier Corporation.
• Ravelonarivo, L. R. (2022). Introduction à la mécanique des milieux continus déformables: Cours et exercices corrigés. Editions Ellipses.
• Bonet & Wood (2008). Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge press.