Analyse (04_XBANA)

• Coefficient : 2
• Volume Horaire: 50h estimées de travail (dont 31.5h EdT)
  CTD : 27h encadrées (et 4.5h de séances d'études dirigées)
  Travail personnel hors EdT : 18.5h

Liste des AATs

Description

1. Intégrales généralisées : notion de convergence, techniques de calcul (intégration par parties, changement de variable)
2. Intégrales multiples : intégrales doubles et triples
   • Formules de Fubini
   • Changements de variables (coordonnées polaires pour les intégrales doubles, cylindriques et sphériques pour les intégrales triples)
   • Applications aux calculs d'aires et de volumes, détermination d'un centre d'inertie, d'un moment d'inertie
3. Intégrales curvilignes
   • Calcul de longueurs d'arcs de courbes
   • Circulation d'un champ de vecteurs
   • Notion de gradient et de rotationnel
   • Formule de Green-Riemann, application aux calculs d'aires
4. Intégrales de surface
   • Flux d'un champ de vecteur
   • Formule de Green-Ostrogradsky
   • Formule de Stockes-Ampère

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 25, B1,B2,B3] (intégrales multiples) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait calculer des intégrales doubles et triples, et utiliser ces notions pour déterminer des volumes, des aires de surfaces, les coordonnées d’un centre d'inertie ou la matrice d'inertie d'un solide. Précisément :

  • L’élève comprend le sens géométrique du calcul d’une intégrale double ;
  • L'élève sait appliquer les formules de Fubini pour écrire une intégrale double ou triple sous forme d’intégrales à une variable ;
  • L'élève sait faire un changement en coordonnées polaires dans une intégrale double ;
  • L'élève sait faire un changement en coordonnées cylindriques ou sphériques dans une intégrale triple ;
  • L'élève sait effectuer un changement de variables proposé par l’énoncé pour réécrire l’intégrale (avec calcul correct du jacobien)
  • L'élève connaît des situations du domaine de la physique où l’on est amené à utiliser les intégrales doubles ou triples.

• AAv2 [heures: 10, B2,B3] (intégrales généralisées) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait déterminer la nature (convergente ou divergente) d'une intégrale généralisée et calculer la valeur d’une intégrale convergente dans différents domaines (probabilités, électromagnétisme, théorie du signal...). Précisément :

  • L’élève reconnaît une intégrale généralisée ;
  • L'élève sait déterminer la nature d’une intégrale généralisée dont l’intégrande est une fraction rationnelle ;
  • L'élève sait déterminer la nature d’une intégrale généralisée par des procédés de recherche d’équivalent de l’intégrande ;
  • L'élève sait déterminer la nature de l’intégrale par des procédés de majoration ou minoration de l’intégrande.

• AAv3 [heures: 15, B1,B2,B3] (champs_vecteurs) : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait déterminer la circulation d'un champ de vecteurs (resp. l'intégrale curviligne d’une forme différentielle) et appliquer cette notion dans différentes situations (champ électrique, magnétique, vitesse d’un fluide en un point…). Précisément :

  • L’élève sait ce qu’est un champ de vecteurs et peut en donner des exemples ;
  • L'élève est capable de déterminer la circulation d’un champ de vecteurs donné ;
  • L'élève est capable de déterminer si un champ est conservatif (resp. si une forme différentielle est exacte), et de calculer ses potentiels (resp. sa primitive) ;
  • L'élève est capable de passer d’une intégrale double à l'intégrale curviligne d’une forme différentielle (formule de Grenn-Riemann).

Modalités d'évaluation

Une épreuves de contrôle continu longue (coefficient 1), moyenne de plusieurs épreuves de contrôle continu courtes (coefficient 2)

Mots clés

Intégrales simples, multiples, curvilignes et de surfaces

Pré-requis

Programme mathématiques du lycée et des semestres antérieurs

Ressources