Analyse (03_XBANA)

• Coefficient : 3
• Volume Horaire: 75h estimées de travail (dont 42h EdT)
  CTD : 36h encadrées (et 6h de séances d'études dirigées)
  Travail personnel hors EdT : 33h

Liste des AATs

Description

Outils élémentaires pour le traitement des fonctions de plusieurs variables (hors intégration vue en S4), utilisées dans les disciplines de la physique

1. Propriétés de base des fonctions de plusieurs variables
   • Rudiments sur les courbes et les surfaces
   • Représentation des fonctions de 2 variables
   • Propriétés de régularité des fonctions (continuité, dérivabilité...)
   • Différentiabilité
2. équations aux dérivées partielles linéaires
   • 1er ordre
   • 2e ordre
   • Conditions aux limites
3. Extrema des fonctions de plusieurs variables
   • Fonctions 2 fois différentiables
   • Extrema locaux et globaux
   • Extrema liés

Acquis d'Apprentissage visés (AAv)

• AAv1 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de déterminer les équations paramétriques et cartésiennes d’une famille de courbes en utilisant la correspondance entre les propriétés géométriques et leurs pendants analytiques. À l’inverse, il est capable de reconnaître et représenter une surface simple décrite par des équations.

  • Précisément :
    • L'élève sait montrer à partir d'équations qu'une surface est une famille de droites paralléles ou une famille de droites concourantes en O ;
    • L'élève sait déterminer les équations d'une famille de courbes simples connues par leurs propriétés géométriques
    • L'élève sait passer d'un système d'équation à l'autre (cartésienne , paramétriques) ;
    • L'élève sait discuter, suivant la position d'une droite, le nombre et les coordonnées des points d'intersection avec une surface donnée par une équation cartésienne.

• AAv2 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de prouver la continuité ou la non-continuité d’une fonction de 2 ou 3 variables, calculer des dérivées partielles premières et secondes en particulier dans des situations de composition de fonctions et de changement de variables.

  • Précisément :
    • L'élève sait calculer sans erreur des dérivées partielles ;
    • L'élève sait interpréter la notion de différentiabilité en terme de plan tangent, et relier les propriétés du gradient aux courbes de niveaux d'une fonction ;
    • L'élève sait calculer un opérateur du second ordre dans un système de variables ( Laplacien en polaire) ;
    • L'élève sait montrer qu'une fonction est continue de plusieurs façons.

• AAv3 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, chaque élève est capable de mener, de façon autonome, la recherche et la classification des points critiques (et des éventuels extrema) en fonction du signe du déterminant de la Hessienne. Il sera capable de proposer des pistes dans le cas non déterminé par la classification.

  • Précisément :
    • L'élève sait calculer les coordonnées des points critiques ;
    • L'élève sait mener une étude locale en réduisant le calcul des dérivées secondes pour $s²-rt$ non nul ;
    • L'élève sait construire une stratégie de chemins pour justifier l'absence d'extremum dans le cas indéterminé ;
    • L'élève sait représenter sommairement les courbes de niveaux au voisinage d'un point-col.

• AAv4 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, en relation avec des situations de la physique comme l’étude des cordes vibrante ou l’évolution de la température d’une barre, chaque élève est capable de résoudre des équations différentielles élémentaires (1er et 2e ordre linéaires), d’appliquer ou de proposer un changement de variable pour se ramener au cas simple, de particulariser les solutions vérifiant des conditions aux limites.

  • Précisément :
    • L'élève sait résoudre des équations du premier et second ordre hyperboliques homogènes à coefficients constants par un changement de variable bien construit ;
    • L'élève sait résoudre une équation du premier ordre sans second membre à coefficients non constants, par la méthode des courbes de niveaux ;
    • L'élève sait déterminer une solution vérifiant des conditions aux limites ou initiales dans des cas simples.

• AAv5 [heures: 15, B2,B3] : À l’issue de cet enseignement, chaque élève sait déterminer, par le calcul, la loi d'une fonction d'une V.A ou d'un couple de V.A ainsi que les lois marginales qui en découlent et l’appliquer aux calculs de probabilités.

Modalités d'évaluation

Une évaluation en contrôle continu longue (coefficient 1) et la moyenne de plusieurs évaluations en contrôle continu courtes (coefficient 3)

Mots clés

Fonctions de plusieurs variables, dérivées partielles, extrema

Pré-requis

Le programme d'analyse des semestres S1 et S2

Ressources