Alternative

AAV1_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

Comme précisé dans l'énoncé, on utilise la méthode du contre-exemple.

Pour prouver qu'un énoncé commençant par « Pour tout ... » (\(\forall x\)) est faux, il suffit de trouver un élément (« Il existe ... » : \(\exists y\)) qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que ne soit vérifiée la conclusion.

On considère l'exemple suivant ou on change le signe de la variable testée (x = -x) quelle que soit la condition :

if x < 0 :
    x = -x
else :
    x = -x

On inialise la variable discriminante de telle manière que la condition soit vraie (exemple : x = -1).

AAV1_ALT: Répondre explicitement à la question posée

Un contre-exemple est donné ci-dessous:

x = -1
print 'Deux tests simples'
if x < 0 :
    x = -x
    print 'if',
if not (x < 0) :
    x = -x
    print 'else',
print x
x1 = x

x = -1
print 'Une alternative simple'
if x < 0 :
    x = -x
    print 'if',
else :
    x = -x
    print 'else',
print x
x2 = x

verif = x1 == x2
print verif,x,x1,x2

AAV1_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

Comme précisé dans l'énoncé, on utilise la méthode du contre-exemple.

Pour prouver qu'un énoncé commençant par « Pour tout ... » (\(\forall x\)) est faux, il suffit de trouver un élément (« Il existe ... » : \(\exists y\)) qui réalise les conditions imposées dans l'hypothèse sans que ne soit vérifiée la conclusion.

On considère l'exemple suivant où les instructions liées à chaque sous-ensemble effectuent un traitement différent selon la valeur de x.

if x < 10 :
    # sous-ensemble (x < 10)
elif x < 20 :
    # sous-ensemble (10 <= x < 20)
elif x < 30 :
    # sous-ensemble (20 <= x < 30)
else :
    # sous-ensemble (30 <= x)

On initialise la variable de telle manière que la condition du premier elif soit vraie (exemple : x = 11).

AAV1_ALT: Répondre explicitement à la question posée

Un contre-exemple est donné ci-dessous:

# exemple 1
print u'avant permutation des lignes elif'
x = 11
if   x < 10 :
    y = x/1
    print 'x < 10 :',x,y
elif x < 20 :
    y = x/2
    print 'x < 20 :',x,y
elif x < 30 :
    y = x/3
    print 'x < 30 :',x,y
else         :
    y = 0
    print 'x > 30 :',x,y

# exemple 2
print u'après permutation des lignes elif'
x = 11
if   x < 10 :
    y = x/1
    print 'x < 10 :',x,y
elif x < 30 :
    y = x/3
    print 'x < 30 :',x,y
elif x < 20 :
    y = x/2
    print 'x < 20 :',x,y
else         :
    y = 0
    print 'x > 30 :',x,y

Le code précédent donne des résultats différents selon l'ordre des lignes elif:

avant permutation des lignes elif
x < 20 : 11 5
après permutation des lignes elif
x < 30 : 11 3

Il n'y a donc pas équivalence entre les 2 versions avant et après permutation.

AAV1_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode des discriminants où switch (x) ... case val: se lit if x == val : et switch (x) ... default: se lit else :.

if x == 1 :
    # sous-ensemble (x == 1)
elif x == 2 :
    # sous-ensemble (x == 2)
elif x == 3 :
    # sous-ensemble (x == 3)
elif x == 4 :
    # sous-ensemble (x == 4)
else :
    # sous-ensemble (x <= 0 or x >= 5)

AAV1_ALT: Répondre explicitement à la question posée

L'exemple Python ci-dessous illustre le fonctionnement équivalent au programme switch de Javascript:

# initialisation
import random
x = random.randint(0,9)

# switch
if x == 1 :
    text = "1"
elif x == 2 :
    text = "234"
elif x == 3 :
    text = "34"
elif x == 4 :
    text = "4"
else :
    text = "fin"

# résultat
print x, text

AAV1_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode de l'empathie numérique.

On dresse la tableau des valeurs des variables instruction après instruction:

line cond   x   y   c   d   k
   1    -   2   3   ?   ?   ?
   2    -   2   3   4   5   ?
   3    1   2   3   4   5   ?
   4    1   2   3   4   5   ?
   5    -   2   3   4   5   3

AAV1_ALT: Répondre explicitement à la question posée

A la fin de l'algorithme, l'instruction print k affiche 3:

>>> print k
3

AAV1_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode de l'empathie numérique.

On dresse la tableau des valeurs des variables instruction après instruction.

line cond   x   y
   1    -   3  -2
   2    0   3  -2
   4    0   3  -2
   6    -   3   5

AAV1_ALT: Répondre explicitement à la question posée

A la fin de l'algorithme, l'instruction print y affiche 5:

>>> print y
5

AAV2_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode des discriminants :

if x1 >= x2 and x1 >= x3 :
    # sous-ensemble (x1 >= x2 and x1 >= x3)
elif x2 >= x1 and x2 >= x3 :
    # sous-ensemble (x2 >= x1 and x2 >= x3)
else :
    # sous-ensemble (x3 >= x1 and x3 >= x2)

AAV5_ALT: Répondre explicitement à la question posée

L'interpréteur Python ci-dessous illustre la détermination du plus grand nombre parmi 3 nombres.

AAV3_ALT: Choisir et appliquer une technique de vérification

Une simple comparaison « à la main » suffit : m est bien le plus grand des 3 nombres.

AAV2_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode des discriminants :

if len(s1) > len(s2) and len(s1) > len(s3) :
    #
elif len(s2) > len(s1) and len(s2) > len(s3) :
    #
elif len(s3) > len(s1) and len(s3) > len(s2) :
    #
elif len(s1) == len(s2) and len(s1) > len(s3) :
    #
elif len(s1) == len(s3) and len(s1) > len(s2) :
    #
elif len(s2) == len(s3) and len(s2) > len(s1) :
    #
else :
    # len(s1) == len(s3) and len(s1) == len(s3)

Lorsque les longueurs des chaînes sont égales, on procède de la même manière avec l'ordre lexicographique.

AAV5_ALT: Répondre explicitement à la question posée

L'interpréteur Python ci-dessous illustre la détermination du plus grand nombre parmi 3 nombres.

AAV3_ALT: Choisir et appliquer une technique de vérification

Une simple comparaison « à la main » suffit : m est bien la plus grande des 3 chaînes.

AAV2_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode des discriminants :

if x1 >= x2 and x1 >= x3 :
    # sous-ensemble (x1 >= x2 and x1 >= x3)
elif x2 >= x1 and x2 >= x3 :
    # sous-ensemble (x2 >= x1 and x2 >= x3)
else :
    # sous-ensemble (x3 >= x1 and x3 >= x2)

AAV5_ALT: Répondre explicitement à la question posée

L'interpréteur Python ci-dessous illustre la détermination du plus grand élément d'une liste à 3 éléments.

AAV3_ALT: Choisir et appliquer une technique de vérification

On utilisera la méthode prédéfinie pour trier une liste : list.sort() : on trie la liste s avec l'instruction s.sort() et on compare le dernier élément de la liste triée avec le résultat précédent:

>>> s.sort()
>>> s[len(s)-1] == m

AAV2_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode des discriminants en testant la parité avec le reste de la division par 2. Puis on applique un suivi de trajectoire pour le tracé du triangle.

• Concernant le test de parité :

  Méthode des discriminants	triangles sens dessus dessous
  variables discriminantes	\(n\)
  domaine de définition	\(\mathbb{N}\)
  nombres de sous-ensembles disjoints	2
  définition des sous-ensembles	\(\{n \in \mathbb(N)| n\%2 = 0\}\) et \(\{n \in \mathbb(N)| n\%2 = 1\}\)
  squelette de l'alternative	if n%2 == 0 : # sous-ensemble (n pair) else : # sous-ensemble (n impair)

• Concernant le tracé du triangle équilatéral, on tourne à gauche si \(n\) est pair, à droite sinon :

  t.forward(d)
  t.left(signe*120)
  t.forward(d)
  t.left(signe*120)
  t.forward(d)
  

  La variable signe vaut 1 si \(n\) est pair, -1 sinon.

AAV5_ALT: Répondre explicitement à la question posée

Le code Python ci-dessous illustre le tracé du triangle selon la parité du nombre aléatoire.

AAV3_ALT: Choisir et appliquer une technique de vérification

Une simple comparaison de figures « à vue » suffit : on compare la figure obtenue avec la tortue Logo à celle attendue par l'énoncé.

On observe bien le comportement attendu.

AAV2_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

On utilise la méthode des discriminants en testant la parité avec le reste de la division par 2. Puis on applique un suivi de trajectoire pour le tracé de la spirale rectangulaire.

• Concernant le test de parité :

  Méthode des discriminants	spirales rectangulaires
  variables discriminantes	\(n\)
  domaine de définition	\(\mathbb{N}\)
  nombres de sous-ensembles disjoints	2
  définition des sous-ensembles	\(\{n \in \mathbb{N}| n\%2 = 0\}\) et \(\{n \in \mathbb{N}| n\%2 = 1\}\)
  squelette de l'alternative	if n%2 == 0 : # sous-ensemble (n pair) else : # sous-ensemble (n impair)

• Concernant le tracé d'une spirale triangulaire à 5 côtés,

  t.forward(d)
  t.left(90)
  t.forward(d + signe*dx)
  t.left(90)
  t.forward(d + 2*signe*dx)
  t.left(90)
  t.forward(d + 3*signe*dx)
  t.left(90)
  t.forward(d + 4*signe*dx)
  

  La variable signe vaut 1 si \(n\) est pair, -1 sinon.

AAV5_ALT: Répondre explicitement à la question posée

L'interpréteur Python ci-dessous illustre le tracé de la spirale rectangulaire selon la parité du nombre aléatoire.

AAV3_ALT: Choisir et appliquer une technique de vérification

Une simple comparaison de figures « à vue » suffit : on compare la figure obtenue avec la tortue Logo à celle attendue par l'énoncé.

On observe bien le comportement attendu.

AAV2_ALT: Choisir et appliquer une méthode générique

Soit \(n\) le numéro de la carte (\(0 \leq n \leq 51\)): \(n\div 13\) représente la couleur (0: pique, 1: cœur, 2: carreau, 3: trèfle) et \(v = 1+n\% 13\) représente la valeur avec les correspondances évidentes (valet: 11, dame: 12, roi: 13). En d'autres termes, le quotient de la division entière \(n\div 13\) donne la couleur et le reste donne la valeur.

• On détermine la couleur par une alternative multiple dont la structure est précisée par la méthode des discriminants.

  Méthode des discriminants	Détermination de la couleur
  variables discriminantes	\(c = n\div 13\)
  domaine de définition	\(E = \{0,1,2,3\}\)
  nombres de sous-ensembles disjoints	4
  définition des sous-ensembles	\(\{c \in E| c = 0\}\) et \(\{c \in E| c = 1\}\) et \(\{c \in E| c = 2\}\) et \(\{c \in E| c = 3\}\)
  squelette de l'alternative	if c == 0 : # sous-ensemble (c == 0) elif c == 1 : # sous-ensemble (c == 1) elif c == 2 : # sous-ensemble (c == 2) else : # sous-ensemble (c == 3)

• On détermine la valeur par une autre alternative multiple dont la structure est précisée par la méthode des discriminants.

  Méthode des discriminants	Détermination de la valeur
  variables discriminantes	\(v = n\% 13\)
  domaine de définition	\(E = \{0,1,2,\ldots 12\}\)
  nombres de sous-ensembles disjoints	4
  définition des sous-ensembles	\(\{v \in E| v = 10\}\) et \(\{v \in E| v = 11\}\) et \(\{v \in E| v = 12\}\) et \(\{v \in E| v < 10\}\)
  squelette de l'alternative	if v == 10 : # sous-ensemble (v == 10) elif v == 11 : # sous-ensemble (v == 11) elif v == 12 : # sous-ensemble (v == 12) else : # sous-ensemble (0 <= v < 10)

AAV5_ALT: Répondre explicitement à la question posée

L'interpréteur Python ci-dessous donne finalement la séquence des 2 alternatives multiples pour déterminer la couleur et la valeur de la carte.

AAV3_ALT: Choisir et appliquer une technique de vérification

On utilise la méthode du jeu de tests : l'énoncé en propose 4 et il est par ailleurs facile d'établir toutes les correspondances :

Le code Python proposé vérifie bien les 4 exemples de l'énoncé ainsi que tous les autres cas possibles.