Laplace : Placement des Poles

Nous avons observé précédemment un lien entre les pôles d’un système et la forme de la réponse temporelle.
Nous allons développer ce point dans cette partie.

Système du Premier Ordre

\( H(s)=\frac{G}{1+\tau.s} \)

considérons une entrée en échelon x(t)=step(t).

\( Y(s)=H(s).X(s) \) avec \( X(s)=\frac{1}{s} \)

\( Y(s)=\frac{G}{s(1+\tau.s)} \)

\( y(t)=G.(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) \)

Influence de la constante de temps sur la réponse et évolution du pôle \( -\frac{1}{\tau} \) :

Système du Second Ordre

\( H(s)=\frac{G}{\frac{s^2}{\omega_n^2}+ \frac{2.\xi}{\omega_n}.s+1} \)

\( H(s)=\frac{G\omega_n^2}{s^2+ 2.\xi.\omega_n.s+\omega_n^2} \)

\( Y(s)=H(s).X(s) \) avec \( X(s)=\frac{1}{s} \)

Recherche des Pôles du système :

Résolution de :
\( s^2+ 2.\xi.\omega_n.s+\omega_n^2 = 0 \)

RAPPEL:

Les solutions de l’équation \( a.x^2+b.x+c = 0 \) sont :

\( \lambda_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( \lambda_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \)

avec \( \Delta = b^2 - 4ac \)

Dans notre cas : \( \Delta = \omega_n^2.(\xi^2-1) \)

Cas \( ( \xi \gt 1 ) \) –> 2 pôles Réels distincts

\( \lambda_1=-\xi\omega_n+\omega_n\sqrt{\xi^2-1} \)
\( \lambda_2=-\xi\omega_n-\omega_n\sqrt{\xi^2-1} \)
REMARQUE : stable si \( \xi \geqslant 1 \)
\( H(s)=\frac{G}{(1+T_1.s)(1+T_2.s)} \) , \( T_1=-\frac{1}{\lambda_1} \), \( T_2=-\frac{1}{\lambda_2} \)
\( H(s)=\frac{K1}{1+T_1.s}-\frac{K2}{1+T_2.s} \) , \( K_1=\frac{G.T_1}{T_1-T_2}, K_2=\frac{G.T_2}{T_1-T_2} \)

\( y(t)=K_1(1-e^{-\frac{t}{T_1}})-K_2(1-e^{-\frac{t}{T_2}}) \)