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Analyse Spectrale au cours de la chaine de traitement :
\( y_e(t) = y(t).\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) \)
\( y_e(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) \)
\( Y_e(f)= \int_{-\infty}^{+\infty} \color{red}{ y_e(t) } e^{-j2\pi ft}dt \)
\( Y_e(f)= \int_{-\infty}^{+\infty} \color{red}{ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) } e^{-j2\pi ft}dt \)
\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{green}{ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) e^{-j2\pi ft}dt } \)
\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{green}{ e^{-j2\pi nfT_e} } \)
Périodicité du Spectre
\( Y_e(f+F_e)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) e^{-j2\pi n(f+F_e)T_e } \)
\( Y_e(f+F_e)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) e^{-j2\pi nfT_e } e^{-j2\pi nF_eT_e } \)
\( Y_e(f+F_e)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) e^{-j2\pi nfT_e } e^{-j2\pi n } \)
Sachant que \( e^{-j2\pi n }=1 \)
\( Y_e(f+F_e)= Y_e(f) \)
Illustration
Prenons l’exemple de la sinusoïde échantillonnée :
Si j’ajoute progressivement les composantes issues de la série de fourier, nous voyons que la forme mathématique de notre
signal échantillonné apparait progressivement en faisant tendre N vers l’infini.
Les composantes résultent de la périodicité du spectre .
Conséquence : Repliement du spectre (aliasing)
Considérons un signal d’entrée un peu bruité.
La périodisation du spectre engendre l’accumulation de ce bruit sur toute la bande passante.
Le signal échantillonné est donc noyé dans le bruit.
Conséquence : Il est nécessaire de filtrer le signal analogique d’entrée.
La fréquence de coupure du filtre doit être Fe/2 ( fréquence de Shannon ).
\( Y_e(s)= \int_{0}^{+\infty} \color{red}{ y_e(t) } e^{-st}dt \)
\( Y_e(s)= \int_{0}^{+\infty} \color{red}{ \sum_{n=0}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) } e^{-st}dt \)
\( Y_e(s)= \sum_{n=0}^{+\infty} y(nT_e) \color{green}{ \int_{0}^{+\infty} \delta(t-nT_e) e^{-st}dt } \)
\( Y_e(s)= \sum_{n=0}^{+\infty} y(nT_e) \color{green}{ e^{-s nT_e} } \)
Reprenons le cas du signal échelon ; on observe une périodisation de la transformée de Laplace selon la composante \( \omega \)
Reprenons la transformée de Laplace d’un signal échantillonné :
\( Y_e(s)= \sum_{n=0}^{+\infty} y(nT_e) e^{-s nT_e} \)
posons \( z= e^{sT_e} \)
Dès lors nous appelons transformée en Z :
\( \mathcal{Z}[y_e(t)]=Y(z)= \sum_{n=0}^{+\infty} y(nT_e) z^{-n} \)
Noté également ( sous entendu avec période d’échantillonage \( T_e \) :
\( Y(z)= \sum_{n=0}^{+\infty} y(n) z^{-n} \)
La transformée en z correspond donc à la transformée de Laplace d’un système échantillonné . Le changement de variable entre s et z nous permettra d’exploiter les calculs de séries mathématiques.
Quant à l’analyse d’un système, elle se fait désormais dans le plan des z :
Comme on est sur une fonction périodique, on retrouve la même chose tous les \( \omega _e \), d’où le cercle.
soit \( y_n=x_{n-k} \) avec \( y_n=0 \) pour \( n<k \)
\( y_n=x_{n-k} \) est en retard de k échantillons par rapport à y.
\( \mathcal{Z}[y_n]=\sum_{n=0}^{+\infty} y_n.z^{-n} = \sum_{n=k}^{+\infty} x_{n-k}.z^{-n} \)
\( \mathcal{Z}[y_n]=\sum_{m=0}^{+\infty} x_{m}.z^{-m-k} = z^{-k} \sum_{m=0}^{+\infty} x_{m}.z^{-m} \)
\( \mathcal{Z}[x_{n-k}]=z^{-k}X(z) \)
\( z^{-k} \) représente donc un retard de k échantillons.
C’est l’un des points les plus importants : on peut trouver une relation entre les échantillons d’entrée et de sortie ( équation de récurrence ), directement à partir de la transformée en z.
\( \lim_{z \to 1}(1-z^{-1})Y(z)= \lim_{n \to \infty} yn \)
\( b_0(t) = step(t)-step(t-T_e) \)
\( B_0(s) = \frac{1}{s}-\frac{e^{-sT_e}}{s} \)
\( B_0(s) = \frac{1-e^{-sT_e}}{s} \)
\( HB(z)= \mathcal{Z}[B_0(s).H(s)] \)
\( HB(z)= \mathcal{Z}\left [\frac{1-e^{-sT_e}}{s}.H(s) \right] \)
\( HB(z)= \mathcal{Z} \left [ 1-e^{-sT_e} \right ].\mathcal{Z} \left [ \frac{H(s)}{s} \right ] \)
\( HB(z)= (1-z^{-1})Z\left [\frac{H(s)}{s} \right] \)
\( y(t)=\frac{dx}{dt} = \lim_{\delta t \to 0} \frac{x(t)-x(t-\delta t}{\delta t} \)
Pour \( T_e \) “petit” :
\( y(t)=\frac{dx}{dt} \approx \frac{x(t)-x(t-T_e}{T_e} \)
à \( t=n.T_e, \)
\( y(nT_e)=y(n) \approx \frac{x(n)-x(n-1)}{T_e} \)
\( \frac{dx(t)}{dt} \to \frac{x_n - x_{n-1} }{T_e} \)
En Z :
\( Y(z)=\frac{1-z^{-1}}{T_e}.X(z) \) représente donc la dérivée.
On en déduit que s peut être remplacé par \( \frac{1-z^{-1}}{T_e} \) pour passer de l’expression analogique en s à l’expression échantillonnée en z.
\( s \approx \frac{1-z^{-1}}{T_e} \)
\( x(t)=\frac{dy(t)}{dt} \)
\( \int_{(n-1)T_e}^{nT_e}x(t)dt \approx T_e\frac{x(n)+x(n-1)}{2}=y(n)-y(n-1) \)
\( s \approx \frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \)
Système du premier ordre :
\( H(s)=\frac{G}{1+ \tau s} \)
\( HB(z)= (1-z^{-1})\mathcal{Z} \left [\frac{H(s)}{s} \right] \)
\( HB(z)=(1-z^{-1})\mathcal{Z} \left [ \frac{G}{s(1+ \tau s)} \right ] \)
\( HB(z)=(1-z^{-1}) \frac{Gz \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )}{(z-1) \left (z-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )} \)
\( HB(z)= \frac{G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )}{ \left (z-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )} \)
\( Y(z)=HB(z).X(z) \)
\( Y(z)= \frac{G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )}{ \left (z-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )} .\frac{z}{z-1} \)
Transformation inverse (utilisation des tables) :
\( y_n = G.(1-e^{-n.\frac{T_e}{\tau}}) \)
ou détermination de l’équation de récurrence :
\( \frac{Y(z)}{X(z)}= \frac{G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )}{ \left (z-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )} \)
Passage en \( z^{-1} \) :
\( \frac{Y(z)}{X(z)}= \frac{G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )}{ \left (1-z^{-1}e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right )} \)
\( \left (1-z^{-1}e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right ).Y(z)= G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right ).X(z) \)
\( Y(z)-z^{-1}Y(z)e^{-\frac{T_e}{\tau}} = G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right ).X(z) \)
\( Y(z) = z^{-1}Y(z)e^{-\frac{T_e}{\tau}} + G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right ).X(z) \)
\( y_n=e^{-\frac{T_e}{\tau}} y_{n-1} + G \left (1-e^{-\frac{T_e}{\tau}} \right ) x_n \)
\( x_n = 1 \) pour \( n \geqslant 0 \)
\( y_0 = 0 \)
\( \tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=G.x(t) \)
Dans le cas d’un système échantillonné :
\( y \to y_n \)
\( x \to x_n \)
\( \frac{dy(t)}{dt} \to \frac{y_n - y_{n-1} }{T_e} \) ( approximation méthode d’Euler )
L’équation devient :
\( \tau \frac{y_n - y_{n-1} }{T_e}+y_n=G.x_n \)
On en déduit l’équation de récurrence :
\( y_n=\frac{\tau}{\tau + T_e}.y_{n-1} + \frac{G T_e}{\tau+T_e}.x_n\)
\( x_n = 1 \) pour \( n \geqslant 0 \)
\( y_0 = 0 \)
Cette équation de récurrence peut être déduite à partir de la fonction de transfert :
\( H(s) = \frac{G}{1+ \tau s} \)
\( s \approx \frac{1-z^{-1}}{T_e} \)
\( H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{G}{1+ \tau \frac{1-z^{-1}}{T_e} } \)
\( H(z) = \frac{G}{1+ \tau \frac{1-z^{-1}}{T_e} } \)
\( Y(z)=\frac{\tau}{\tau + T_e}.z_{-1}.Y(z) + \frac{G T_e}{\tau+T_e}.X(z)\)
On retrouve :
\( y_n=\frac{\tau}{\tau + T_e}.y_{n-1} + \frac{G T_e}{\tau+T_e}.x_n\)
REMARQUE : On peut trouver l’expression de y en passant par Z :
Repartons de l’équation différentielle “numérisée” :
\( y_n - K_2.y_{n-1}=G.K_1.x_n \) avec \( K_1=\frac{T_e}{\tau+T_e} \) et \( K_2=1-K_1 \)
\( \mathcal{Z}\left [ y_n - K_2.y_{n-1} \right ] =\mathcal{Z} \left [ G.K_1.x_n \right ] \)
\( Y(z)-K_2z^{-1}Y(z)=G.K_1.X(z) \)
\( \frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{G.K_1}{1-K_2z^{-1}} \)
Réponse Indicielle ( echelon)
\( X(z)=\frac{1}{1-z^{-1}} \)
\( Y(z)=\frac{G.K}{1-K_2z^{-1}}.\frac{1}{1-z^{-1}} \)
\( Y(z)=GK_1\frac{z^2}{[z-K_2][z-1]} \)
Décomposition en éléments simples :
\( \frac{Y(z)}{z}=\frac{A}{z-K_2}+\frac{B}{z-1} \)
\( A = \lim_{z \to K_2} (z-K_2)\frac{Y(z)}{z}=-G.K_2 \)
\( B = \lim_{z \to 1} (z-1)\frac{Y(z)}{z}=G \)
\( Y(z) = \frac{Gz}{z-1}+\frac{-G.K_2.z}{z-K_2} \)
Utilisation des tables pour trouver \( y_n \)
\( y_n = G(1-K_2^{n}) \)
\( s \approx \frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \)
\( H(s) = \frac{G}{1+ \tau s} \)
\( H(z) = \frac{G}{1+\tau \left [ \frac{2}{T_e} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \right ]} \)
\( H(z) = \frac{G(1+z)}{K_1.z - K_2 } \)
avec \( K_1=1+\frac{2\tau}{T_e} \) et \( K_2=\frac{2\tau}{T_e} - 1 \)
\( H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{G}{K_1} . \frac{1+z^{-1}}{1 - K_2.z^{-1} } \)
Equation de récurrence :
\( y_n=\frac{K_2}{K_1}.y_{n-1} + \frac{G}{K_1}x_n + \frac{G}{K_1}x_{n-1} \)
Scilab :
Octave-Matlab :
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