Nous avons observé précédemment un lien entre les pôles d’un système et la forme de la réponse temporelle.
Nous allons développer ce point dans cette partie.
\( H(s)=\frac{G}{1+\tau.s} \)
considérons une entrée en échelon x(t)=step(t).
\( Y(s)=H(s).X(s) \) avec \( X(s)=\frac{1}{s} \)
\( Y(s)=\frac{G}{s(1+\tau.s)} \)
\( y(t)=G.(1-e^{-\frac{t}{\tau}}) \)
Influence de la constante de temps sur la réponse et évolution du pôle \( -\frac{1}{\tau} \) :
\( H(s)=\frac{G}{\frac{s^2}{\omega_n^2}+ \frac{2.\xi}{\omega_n}.s+1} \)
\( H(s)=\frac{G\omega_n^2}{s^2+ 2.\xi.\omega_n.s+\omega_n^2} \)
\( Y(s)=H(s).X(s) \) avec \( X(s)=\frac{1}{s} \)
Recherche des Pôles du système :
Résolution de :
\( s^2+ 2.\xi.\omega_n.s+\omega_n^2 = 0 \)
RAPPEL:
Les solutions de l’équation \( a.x^2+b.x+c = 0 \) sont :
avec \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Dans notre cas : \( \Delta = \omega_n^2.(\xi^2-1) \)
\( y(t)=K_1(1-e^{-\frac{t}{T_1}})-K_2(1-e^{-\frac{t}{T_2}}) \)
\( y(t)=G\left[ 1-(1+\omega_n.t)e^{-\omega_n.t} \right ] \)
Réponse indicielle :
\( y(t)=G\left ( 1-\frac{e^{-\xi\omega_nt}}{\sqrt{1-\xi^2 }}sin(\omega_p.t+\phi) \right ) \)
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#====================================
G=5
tau=0.5
F = tf([G],[tau,1])
STEP= tf([1],[1,0])
t_end=15
t=0:0.01:t_end
figure(1)
%------------------------------------
subplot(1,2,1)
for i = 1:1:5
F = tf([G],[tau,1])
hold on
p=step(F,t)
h=plot(t,p,'LineWidth',2,axis([0 t_end -1 6]))
hold on
LEG{i} = ['tau = ' num2str(tau)];
hold on
tau = tau + 0.5
end
legend(LEG,4);
xlabel('time (s)')
title('STEP RESPONSE')
grid
hold on
%------------------------------------
subplot(1,2,2)
tau=0.5
for i = 1:1:5
F = tf([G],[tau,1])
hold on
pzmap(F*STEP, 'x')
hold on
LEG{i} = ['tau = ' num2str(tau)];
hold on
tau = tau + 0.5
end
legend(LEG,4);
#print -deps premier_ordre.eps
#####################################
figure(2)
G=5
ksi=0.1 % Facteur d'amortissement
wn = 10 % pulsation naturelle non amortie
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
STEP= tf([1],[1,0])
t_end=8
t=0:0.01:t_end
%------------------------------------
subplot(1,2,1)
for i = 1:1:5
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
hold on
p=step(F,t)
h=plot(t,p,'LineWidth',2,axis([0 t_end -1 9]))
hold on
LEG{i} = ['ksi = ' num2str(ksi)];
hold on
ksi = ksi+0.3
end
grid
legend(LEG,4);
title('STEP RESPONSE')
xlabel('time (s)')
subplot(1,2,2)
ksi=0.1
for i = 1:1:5
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
hold on
pzmap(F*STEP, 'x')
hold on
LEG{i} = ['ksi = ' num2str(ksi)];
hold on
ksi = ksi+0.3
end
legend(LEG,4);
#####################################
figure(3)
G=5
ksi=sqrt(2)/2 % Facteur d'amortissement
wn = 10 % pulsation naturelle non amortie
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
STEP= tf([1],[1,0])
t_end=8
t=0:0.01:t_end
%------------------------------------
subplot(1,2,1)
for i = 1:1:5
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
hold on
p=step(F,t)
h=plot(t,p,'LineWidth',2,axis([0 1.5 -1 6]))
hold on
LEG{i} = ['wn = ' num2str(wn)];
hold on
wn = wn+10
end
grid
legend(LEG,4);
title('STEP RESPONSE')
xlabel('time (s)')
subplot(1,2,2)
ksi=sqrt(2)/2
wn = 10 % pulsation naturelle non amortie
for i = 1:1:5
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
hold on
pzmap(F*STEP, 'x')
hold on
LEG{i} = ['wn = ' num2str(wn)];
hold on
wn = wn+10
end
legend(LEG,4);
print -dsvg second_ordre_wn.svg
#####################################
figure(4)
t_end=8
t=0:0.01:t_end
G=1
ksi=0.2% Facteur d'amortissement
wn = 10 % pulsation naturelle non amortie
F = tf([G],[(1/wn)^2,((2*ksi)/wn),1])
p=step(F,t)
h=plot(t,p,'LineWidth',2)
axis([0 t_end 0 1.6])
grid