Rappel : Transformée de Fourier
\( Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-j2\pi f t } dt \)
Définition d’un signal échantillonné :
\( y_e(t) = y(t).\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) \)
\( y_e(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) \)
Transformée de Fourier d’un signal échantillonné :
\( \mathcal{F}[y_e(t)]= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) \right ) .e^{-j2\pi f t } dt \)
\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{red}{ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) .e^{-j2\pi f t } dt } \)
\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{red}{ e^{-j2\pi.f.n.T_e}} \)
Le signal temporel est discret ( échantillonné ), et fini ( N échantillons ).
La transformée de Fourier de ce signal est également discrète.
\( Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) e^{-j2\pi.f.n.T_e} \)
\( 0 < f < Fe \)
Posons \( f_k=\frac{k}{N}.Fe \) avec k=0,1,2,..,N-1
\( Y_e(f_k)= \sum_{n=0}^{N-1} y(nT_e) e^{-j2\pi.\frac{k}{N}.Fe.n.T_e} \)
\( Y_e(k)= \sum_{n=0}^{N-1} y(nT_e) e^{-j2\pi.\frac{k}{N}.n} \)