Transformée de Fourier et Signal Echantillonné

Transformée de Fourier Signal Temps Discret ( TFTD )

• Le signal temporel est discret ( échantillonné )
• La transformée de Fourier de ce signal est continue pour un signal non périodique.

Rappel : Transformée de Fourier

$Y(f) = \int_{-\infty}^{+\infty}y(t)e^{-j2\pi f t } dt$

Définition d’un signal échantillonné :

$y_e(t) = y(t).\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e)$
$y_e(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e)$

Transformée de Fourier d’un signal échantillonné :

$\mathcal{F}[y_e(t)]= \int_{-\infty}^{+\infty} \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \delta(t-nT_e) \right ) .e^{-j2\pi f t } dt$
$Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{red}{ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT_e) .e^{-j2\pi f t } dt }$

$\boxed{ Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) \color{red}{ e^{-j2\pi.f.n.T_e}} }$

Transformée de Fourier Discrète

Le signal temporel est discret ( échantillonné ), et fini ( N échantillons ).
La transformée de Fourier de ce signal est également discrète.

$Y_e(f)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y(nT_e) e^{-j2\pi.f.n.T_e}$

$0 < f < Fe$

Posons $f_k=\frac{k}{N}.Fe$ avec k=0,1,2,..,N-1

$Y_e(f_k)= \sum_{n=0}^{N-1} y(nT_e) e^{-j2\pi.\frac{k}{N}.Fe.n.T_e}$

$\boxed{ Y_e(k)= \sum_{n=0}^{N-1} y(nT_e) e^{-j2\pi.\frac{k}{N}.n} }$